Criptografia com Álgebra Linear (matrizes)–Parte 2

Continuação do artigo Criptografia com álgebra linear parte 1 
O processo de descriptografia é relativamente simples. Basta multiplicar a matriz B pela inversa da matriz A (que é nossa chave).
Mas como achamos a inversa da matriz A ?

A= clip_image002[15]_thumb[5]

Matriz inversa (parte final)

Como vimos no artigo anterior a matriz A admite uma inversa, pois sua determinante é 1
Det(A)=1
Aqui chamaremos a matrz A de M.
A sua inversa é representada por M-1. Vamos usar o seguinte teorema:

clip_image002

Onde clip_image002[4] é a matriz adjunta.

Vamos entender passo a passo:

1º Encontrar o determinante de M
Já sabemos que é 1

2º A matriz M’ chamada de matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo respectivo cofator.

3º A matriz clip_image002[6]chamada de matriz adjunta que é a transposta de M’ clip_image002[8]

4º Encontrar a inversa clip_image002[10], multiplicando clip_image002[6] por clip_image002[13]


Menor Complementar e Co-Fator

 

2º A matriz M’ chamada de matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo respectivo cofator.
Chamamos de cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o numero Aij tal que:
clip_image002[15]

Onde o MC é o Menor Complementar.

O menor complementar de um elementro de uma matriz é obtido suprimindo as linhas e colunas em que ele faz parte e encontrando o determinante dos elementos que sobraram.

clip_image002[15]_thumb[5].

Veja na imagem:
image

clip_image002[3] 

Fazendo os calculos temos a matriz = M’  =clip_image002[5]

Matriz Adjunta (transposta)

 

Falta agora transpor a matrix M’:
A matriz clip_image0026chamada de matriz adjunta que é a transposta de M’ clip_image0028
A matriz transposta é a matriz obtida trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas.

M’ = clip_image002[5] 

(M’)T = clip_image002[11] 

Portanto: clip_image0026 = clip_image002[11]

Encontrar a inversa clip_image00210, multiplicando clip_image0026 por clip_image00213

Já que a determinante de M já descoberta no artigo anterior é 1
Então 1/1 = 1* clip_image0026 não altera a nossa matriz.

Portanto M-1 =clip_image002[11]

Assim temos a chave de descritografia.
Alegre Como descriptografar ?
Multiplique a matriz inversa pela matriz da mensagem cifrada.

clip_image002[11] * clip_image00237_thumb = clip_image002[1]
Usando a tabela de caracteres você verá que é muito loco.

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