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via (http://kibeloco.com.br)

A=

Matriz inversa (parte final)

Como vimos no artigo anterior a matriz A admite uma inversa, pois sua determinante é 1
Det(A)=1
Aqui chamaremos a matrz A de M.
A sua inversa é representada por M-1. Vamos usar o seguinte teorema:

Onde é a matriz adjunta.

Vamos entender passo a passo:

1º Encontrar o determinante de M
Já sabemos que é 1

2º A matriz M’ chamada de matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo respectivo cofator.

3º A matriz chamada de matriz adjunta que é a transposta de M’

4º Encontrar a inversa , multiplicando por

Menor Complementar e Co-Fator

2º A matriz M’ chamada de matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo respectivo cofator.
Chamamos de cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o numero A_ij tal que:

Onde o MC é o Menor Complementar.

O menor complementar de um elementro de uma matriz é obtido suprimindo as linhas e colunas em que ele faz parte e encontrando o determinante dos elementos que sobraram.

.

Veja na imagem:

Fazendo os calculos temos a matriz = M’  =

Matriz Adjunta (transposta)

Falta agora transpor a matrix M’:
A matriz chamada de matriz adjunta que é a transposta de M’
A matriz transposta é a matriz obtida trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas.

M’ =  

(M’)^T =  

Portanto: =

Encontrar a inversa , multiplicando por

Já que a determinante de M já descoberta no artigo anterior é 1
Então 1/1 = 1* não altera a nossa matriz.

Portanto M^-1 =

Assim temos a chave de descritografia.
Como descriptografar ?
Multiplique a matriz inversa pela matriz da mensagem cifrada.

* =
Usando a tabela de caracteres você verá que é muito loco.

Matrizes são uteis em diversos campos como em economia, engenharia, física, tecnologia (grafos) e também pode ser aplicada em criptografia.
A área da criptografia é bem abrangente e usa diversos métodos para transformar dados normal (texto puro) e texto cifrado.
Podemos empregar álgebra linear, mais especificamente matriz a fim de criarmos um sistema de criptografia. O método envolve duas matizes, uma para criptografar e uma descriptografar.

Para entender o artigo é bom lembrar ou aprender o básico de matrizes, portanto além de ver um processo bem legal de criptografia, você vai entender matrizes, matriz inversa, determinante, regra de “Sarrus”, Multiplicação de matriz e aritmética modular, e na sugunda parte desse artigo entenderá matriz adjunta (transposta) menor complementar e co-fator e é claro um bom método de criptografia simétrica.

Matriz

Matriz = Uma tabela de números dispostos em linhas e colunas colocados entre parênteses ou colchetes:

Tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes  sendo .

Uma matriz é representada por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam a linha e a coluna.

=  

Abreviando a matriz A podemos escrever
 
O i representa a linha e o j representa a coluna que o elemento ocupa.

Fácil veja a matriz 3×3:

A=

Onde :
=-3  =-3  =-4
=0   =1   =1
=4   =3   =4

Essa matriz poderá ser utilizada em nossa criptografia. (Se quiser fazer diferente do exemplo escolha números aleatórios e crie uma matriz 3×3).
Desde que ela possua uma inversa.
A inversa de A somente irá existir se e somente se a determinante de A for diferente de zero.

Se esta matriz possuir a inversa ela será a nossa Chave de Criptografia.

Matriz Inversa parte 1

Ela é inversível se existir uma matriz B tal que:

 
Neste caso B é dita como inversa de A e pode ser escrita como A^-1.

Determinante

Determinante é um número real associado a uma matriz usado no calculo da matriz inversa, resolução de alguns sistemas lineares e em calculo de área de triângulos quando se conhece as coordenadas do vértice.
Vamos verificar se a matriz A possui uma inversa e para isso temos que descobrir o determinante.

Por se tratar de uma matriz 3×3 a determinante é de 3ª ordem, assim temos que usar um dispositivo conhecido como regra de Sarrus (“lê-se Sarrí”).
1º passo – Repetir as duas primeiras colunas al lado da terceira

2º passo – Multiplicar os elemento da diagonal principal de A conservando os sinais.

(-3*1*4)+( -3*1*4)+( -4*0*3)=-24
3º passo – Multiplicar os elementos da diagonal secundaria trocando o sinal

(4*1*-4)+(3*1*-3)+(4*0*-3) = –25 (inverte o sinal)

4º passo – Somar os produtos obtidos:
25+(-24)=1

1 é o determinante da matriz A
det(A)=1 Existe a inversa de A

Criptografando

Continuando o processo de criptografia o próximo passo é pensar em nosso alfabeto e para fins de simplificação, vamos transformar as letras do alfabeto em números sequencias, poderíamos fazer a utilização da tabela ASCII.

Que tal incluir o espaço e adicionar o valor 26;
Vamos imaginar agora uma mensagem a ser criptografada.
”Muito loco”

Resultando na seguinte matriz.
B=

Com a matriz A que é a nossa chave de criptografia e a matriz B que é nosso texto puro, basta fazer a multiplicação das matrizes para termos um mensagem criptografada.:

 *

Multiplicação de Matrizes

Duas matrizes A= (a_ij)_mxn e B(b_ij)_nxp o produto de AB é C=(c_ij)_mxp tal que:

para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.

Somente se A_nxm*B_mxp=Nxp Ou seja, desde que o numero de colunas de A sejam iguais ao numero de linhas de B

Não se assuste é fácil:
É a soma dos produtos das linhas de A por todas as colunas de B.

(-3*12)+(-3*20)+(-4*8)    (-3*19)+(-3*14)+(-4*26)    (-3*11)+(-3*14)+(-4*3)     (-3*14)+(-3*26)+(-4*26)
(0*12)+(1*20)+(1*8)        (0*19)+(1*14)+(1*26)        (0*11)+(1*14)+(1*3)        (0*14)+(1*26)+(1*26)
(4*12)+(3*20)+(4*8)        (4*19)+(3*14)+(4*26)        (4*11)+(3*14)+(4-3)        (4*14)+(3*26)+(4*26)

C=

Essa é a mensagem criptografada.

Aritmética Modular

Se você quiser visualizar os caracters gerados você deve usar aritmética modular MOD(26) pois nossa tabela só vai até 26 – Calculo modular não é dificil.
-128:26 = 5 sobra 2 portanto 128 MOD(26) = 2
203:26 dá 7 e sobra 21 portanto MOD(26)=21
87 MOD(26)=9
224 MOD(26)=16
28 MOD(26)=2
40 MOD(26) = 14
17 não precisa
52 MOD(26) =0 (não tem resto)
140 MOD(26)=10
222 MOD(26)=14
98 MOD(26)=20
238 MOD(26)=4

Temos então o valor 2, 21, 9, 16 ,2,14,17,0,10,14,20 e 4

Formando a frase criptografada:

Abra o outlook e clique em Arquivo –> Opções.
Clique em Calendários e em seguida em Adicionar Feriados… 

Selecione o Brasil e pronto. Ele faz o download automático.
Só que são somente os feriados nacionais.

Até mais,
Daniel Donda
www.mcsesolution.com

Veja o artigo em www.mcsesolution.com

Com imagem e tudo mais…

Citação

7o Encontro – Programadores de C & C++

Acontecerá no próximo dia 14 de Agosto, a partir das 9:00, o 7o. encontro de programadores C & C++ da Livraria Tempo Real. O evento será em São Paulo, no Century Flat – Paraíso.

Quem estará lá marcando presença novamente, é o MVP de C++ Fabio Galuppo, que falará sobre Programação GPU com Visual C++ e CUDA Compiler Dirver (nvcc).

Se você ainda não conhece o Fabio Galuppo, acesse seu blog e entenda mais do seu trabalho.

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Programa MVP Brasil.